π是无理数。因为，根据有理数的定义：有理数是一个整数a和一个正整数b的比，例如3/8，通则为a/b。有理数的小数部分是有限或为无限循环的数。而π=3.1415926...是无限不循环小数，不在有理数的范围。
假设π是有理数，则π=a/b，（a,b为自然数）
令f(x)=(x^n)[(a-bx)^n]/(n!)
若0 0 0 以上两式相乘得： 0 当n充分大时，,在[0，π]区间上的积分有 0<∫f(x)sinxdx <[π^(n+1)](a^n)/(n!)<1 …………（1） 又令：F(x)=f(x)-f"(x)+[f(x)]^(4)-…+[(-1)^n][f(x)]^(2n),(表示偶数阶导数) 由于n!f(x)是x的整系数多项式，且各项的次数都不小于n，故f(x)及其各阶导数在x=0点处的值也都是整数，因此，F(x)和F(π)也都是整数。 又因为 d[F'(x)sinx-F(x)conx]/dx =F"(x)sinx+F'(x)cosx-F'(x)cosx+F(x)sinx =F"(x)sinx+F(x)sinx =f(x)sinx 所以有： ∫f(x)sinxdx=[F'(x)sinx-F(x)cosx]，（此处上限为π，下限为0） =F(π)+F(0) 上式表示∫f(x)sinxdx在[0，π]区间上的积分为整数，这与（1）式矛盾。所以π不是有理数，又它是实数，故π是无理数。 圆周率是表示圆的周长与直径比值的数学常数，用希腊字母π表示。π也等于圆形之面积与半径平方之比，近似值约等于3.14159265359，是精确计算圆周长、圆面积、球体积等几何形状的关键值，在分析学里，π可以严格地定义为满足sinx=0的最小正实数x。
